Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，且直线x-y+b=0是

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，且直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线．（1）求椭圆C的方程．（2）过点S（0，?12）且斜率为1的直线l交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积．

Answer 1

（1）由

x?y+b＝0 y2＝4x

?x²+（2b-4）x+b²=0．
∵直线x-y+b=0与抛物线y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0?b=1．
∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴a=

2

，
∴所求椭圆方程为

x2

2

+y²=1．
（2）由已知得直线l的方程为y=x-

1

2

，与

x2

2

+y²=1联立消y得3x²-2x-

3

2

=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2

3

，x₁?x₂=-

1

2

，
∴（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

22

9

，
∴|MN|=

(x1?x2)2+(y1?y2)2

=

2 11

3

．
又原点O到直线l的距离为d=

1

2 2

，
∴S_△OMN=

1

2

×

2 11

3

×

1

2 2

=

22

2

．