Question

定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定义域区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=f(b)?f(a)b?a，

定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定义域区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=f(b)?f(a)b?a，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数f（x）=cosx-1是[-2π，2π]上的“平均值函数”②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥a+b2．③若函数f（x）=x-mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是m∈（0，2）④若f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均函数”，x0是它的一个均值点，则lnx0＜1ab．其中的真命题有______．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

①函数f（x）=cosx-1是[-2π，2π]上的“平均值函数”，-1就是它的均值点．故①正确；
②不正确．反例：f（x）=x在区间[0，6]上．
③正确．由定义：x02?mx0?1＝

?m?m

2

，得x02?1＝(x0?1)m?m＝x0+1，
又x₀∈（-1，1）所以实数m的取值范围是m∈（0，2）．
④正确．理由如下：由题知lnx0＝

lnb?lna

b?a

．
要证明lnx0＜

1

ab

，
即证明：

lnb?lna

b?a

，
令

b a

＝t＞1，原式等价于t+lnt2＜t?

1

t

?2lnt?

1

t

．
令h（t）=2lnt-t+

1

t

，
则h′(t)＝

2

t

?1?

1

t2

，
∴h（t）=2lnt-t+

1

t

＜h（1）=0，得证．
故答案为：①③④．