Question

已知函数f（x）=2cosxsin（x-π/3）+根号3 sin平方x+sinxcosx。

已知函数f（x）=2cosxsin（x-π/3）+根号3 sin平方x+sinxcosx。
（1）求函数y=f（x）图像的对称中心；
（2）若2f（x）-m+1=0在【π/6,7π/12】有两个相异的实根，求m的取值范围。

Answer 1

(1) f(x)=2cosxsin(x-π/3)+√3 sin^2x+sinxcosx
　　 =2cosx[1/2sinx-√3/2cosx)+√3/2[1-cos2x]+1/2sin2x
　　 =1/2sin2x-√3cos^2x-√3/2cos2x+1/2sin2x+√3/2
　　 =sin2x-√3/2cos2x-√3/2cos2x+√3/2-√3/2
　　 =sin2x-√3cos2x
　　 =2sin(2x-π/3)
　　 函数y=f（x）图像的对称中心:(π/6,0)
(2) 4sin(2x-π/3)-m+1 在【π/6,7π/12】有两个相异的实根
　　 当x=π/6时， 4sin(2x-π/3)-m+1=-m+1
　　 当x=7π/12时， 4sin(2x-π/3)-m+1=4sin(5π/6)-m+1=2-m+1=3-m
　　 (4sin(2x-π/3)-m+1)'=8cos(2x-π/3)=0 x=5π/12
　　 当x<5π/12时，导数>0; 当x>5π/12时，导数<0,
　　当x=5π/12时，4sin(2x-π/3)-m+1取得极大值 4sin(5π/6-π/3)-m+1=5-m
　　5-m>0 且 -m+1<0 且 3-m<0
　　m<5 且 m>1 且 m>3
　　∴ 3<m<5

Answer 2

已知函数f（x）=2cosxsin（x-π/3）+根号3 sin平方x+sinxcosx。
（1）求函数y=f（x）图像的对称中心；
（2）若2f（x）-m+1=0在【π/6,7π/12】有两个相异的实根，求m的取值范围。
f（x）=cosxsinx-√3cos^2 x+√3sin^2 x+sinxcosx
=sin2x-√3cos2x
=2sin(2x-π/3).（很关键，化成正弦型函数的形式）。
1.
因为sinx的对称中心纵坐标为0，横坐标为x=kπ，k∈Z.
所以sin(2x-π/3)的对称中心纵坐标为0，横坐标为2x0-π/3=kπ，k∈Z.
解出x0得对称中心横坐标。代入得对称中心(x0,0).
2.
2f（x）-m+1=0在[π/6,7π/12]上有两个相异的实根,等价于
f（x）=(m-1)/2, 在[π/6,7π/12]上有两个相异的实根,等价于
曲线y=f(x)与直线y=(m-1)/2, 在[π/6,7π/12]上有两个交。
π/6≤x≤7π/12，0≤2x-π/3≤5π/6,0≤sin(2x-π/3)≤1,
问题等价于曲线y=sinX与直线直线y=(m-1)/2, 在[0,5π/6]上有两个交。
在同一坐标系中作出它们的图象。
1/2≤(m-1)/2<1,
2≤m<3.