Question

已知函数 f(x)=lnx，g(x)= 1 2 a x 2 +bx (a≠0). （Ⅰ）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x

已知函数 f(x)=lnx，g(x)= 1 2 a x 2 +bx (a≠0). （Ⅰ）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设函数φ（x）=e 2x +be x ，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；

Answer 1

（Ⅰ）由题设知：h（x）=lnx+x 2 -bx，且在（0，+∞）上是增函数， ∵ h′(x)= 1 x +2x-b ∴ 1 x +2x-b≥0 即 b≤ 1 x +2x 对x∈（0，+∞）恒成立， ∵x＞0，有 1 x +2x≥2 2 . ∴ b的取值范围为(-∞，2 2 ]. （7分） （Ⅱ）设t=e x ，则函数化为φ（x）=F（t）=t 2 +bt，t∈[1，2]．∵ F(t)=(t+ b 2 ) 2 - b 2 4 . ∴当 - b 2 ≤1 即 -2≤b≤2 2 时，F（t）在[1，2]上为增函数，[φ（x）] min =F（1）=b+1； 当 1＜- b 2 ＜2 即-4＜b＜-2时， [φ(x) ] min =F(- b 2 )=- b 2 4 ； 当 - b 2 ≥2 即b≤-4时，F（t）在[1，2]上为减函数，[φ（x）] min =F（2）=2b+4； ∴ [φ(x) ] min = b+1     x∈[-2，2 2 ] - b 2 4      x∈(-4，-2) 2b+4   x∈(-∞，-4] （14分）