Question

已知点A（5，0）和⊙B：（x+5） 2 +y 2 =36，P是⊙B上的动点，直线BP与线段AP的垂直平分线交于点Q．（1）

已知点A（5，0）和⊙B：（x+5） 2 +y 2 =36，P是⊙B上的动点，直线BP与线段AP的垂直平分线交于点Q．（1）证明点Q的轨迹是双曲线，并求出轨迹方程．（2）若 ( BQ + BA )? QA =0 ，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）∵点Q在线段AP的垂直平分线上， ∴|QP|=|QA|， ∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6． ∴点Q的轨迹是以A、B为焦点的双曲线．（4′） 其轨迹方程是 x 2 9 - y 2 16 =1 ．（7′） （2）以A、B、Q为三个顶点作平行四边形ABQC， 则 BQ + BA = BC ∵ ( BQ + BA )? QA =0 ， ∴ BC ? QC =0 ， ∴平行四边形ABQC是菱形， ∴ | BA |=| BQ | ．（8′） ∴点Q在圆（x+5） 2 +y 2 =100上． 解方程组 (x+5) 2 + y 2 =100 x 2 9 - y 2 16 =1 ．（10′） 得 Q(- 39 5 ，± 48 5 ) 或 Q( 21 5 ，± 8 6 5 ) ．（12′）