Question

如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE。（1）求证：∠AEC=∠C；

如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE。（1）求证：∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC；（3）若AE=6.5，AD=5，那么△ABE的周长是多少？

Answer 1

证明：（1）∵AD⊥AB， ∴△ABD为直角三角形， 又∵点E是BD的中点， ∴AE= BD， 又∵BE= BD， ∴AE=BE， ∴∠B=∠BAE， 又∵∠AEC=∠B+∠BAE， ∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B， 又∵∠C=2∠B， ∴∠AEC=∠C； （2）由（1）可得AE=AC， 又∵AE= BD， ∴ BD=AC， ∴BD=2AC， （3）在Rt△ABD中，AD=5，BD=2AE=2×6.5=13， ∴AB= =12， ∴△ABE的周长=AB+BE+AE=12+6.5+6.5=25。