Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足如下三个条件：①对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足如下三个条件：①对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1（1）计算f（9）， f( 3 ) 的值；（2）证明f（x）在（0，+∞）上为减函数；（3）有集合A={（x 0 ，y 0 ）|f（x 0 2 +1）-f（5y 0 ）-2＞0，x 0 ，y 0 ∈（0，+∞）}， B={( x 0 ， y 0 )|f( x 0 y 0 )+ 1 2 =0， x 0 ， y 0 ∈(0，+∞)} ．问：是否存在（x 0 ，y 0 ）使（x 0 ，y 0 ）∈A∩B．

Answer 1

（1）∵对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）∴f（9）=2f（3）=-2；f（3）=2f（ 3 ）=-1，∴f（ 3 ）=- 1 2 （2）设任意x，y∈（0，+∞），且x＜y，且 y x =t  （t＞1） 则f（x）-f（y）=f（x）-f（tx）=f（x）-f（x）-f（t）=-f（t） ∵当x＞1时，f（x）＜0，∴-f（t）＞0 ∴f（x）＞f（y） ∴f（x）在（0，+∞）上为减函数 （3）依题意可得f（1）=0，f（ 1 3 ）=1，f（ 1 9 ）=2 f（x 0 2 +1）-f（5y 0 ）-2＞0?f（x 0 2 +1）＞f（5y 0 ）+2=f（5y 0 ）+f（ 1 9 ）=f（ 5 9 y 0 ）?x 0 2 +1＜ 5 9 y 0 ）① f( x 0 y 0 )+ 1 2 =0 ? f( x 0 y 0 )+f( 3 3 )=0 ?f（ 3 x 0 3 y 0 ）=f（1）? 3 x 0 3 y 0 =1② 将②代入①得27x 0 2 -5 3 x 0 +27＜0 此不等式无解 故不存在（x 0 ，y 0 ）使（x 0 ，y 0 ）∈A∩B