Question

已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交

已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y=p2于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（Ⅰ）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；（Ⅱ）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设A（x₁，y₁），则切线AD的方程为y＝

x1

p

x?

x 2 1

2p

，所以D（

x1

2

，0），Q（0，-y₁）
∴|FQ|=

p

2

+y1，|FA|=

p

2

+y1，∴|FQ|=|FA|，∴△AFQ为等腰三角形，且D为AQ的中点
∴DF⊥AQ
∵|DF|=2，∠AFD=60°
∴∠QFD=60°，

p

2

=1
∴p=2
∴抛物线方程为x²=4y；
（II）解：设B（x₂，y₂）（x₂＜0），则B处的切线方程为y＝

x2

2

x?

x 2 2

4

，与y＝

x1

2

x?

x 2 1

4

联立，可得P（

x1+x2

2

，

x1x2

4

）
由

y＝ x1 2 x? x 2 1 4 y＝1

，可得M（

x1

2

+

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