Question

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +3bx+c（b≠0）是奇函数。（1）求a，c的值；（2）求函数f（x）的单调区

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +3bx+c（b≠0）是奇函数。（1）求a，c的值；（2）求函数f（x）的单调区间。

Answer 1

解：（1）因为函数g（x）=f（x）-2为奇函数， 所以，对任意的x∈R，g（-x）=-g（x），即f（-x）- 2=-f（x）+2 又f（x）=x 3 +ax 2 +3bx+c， 所以-x 3 +ax 2 -3bx+c-2=-x 3 -ax 2 -3bx-c+2 所以 解得a=0，c=2。 （2）由（1）得f（x）=x 3 +3bx+2 所以f′（x）=3x 2 +3b（b≠0） 当b＜0时，由f′（x）=0得x=± x变化时，f′（x）的变化情况如下表： 所以，当b＜0时，函数f （x）在（-∞，- ）上单调递增，在（- ， ）上单调递减， 在（ ，+∞）上单调递增 当b＞0时，f′（x）＞0 所以函数f （x）在（-∞，+∞）上单调递增。