Question

已知函数f（x）=ln（ax+1）+2x+1-1（x≥0，a＞0）．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）求f（x

已知函数f（x）=ln（ax+1）+2x+1-1（x≥0，a＞0）．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）f′（x）=

ax2+a?2

(ax+1)(x+1)2

，
∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=2a-2=0，
∴a=1；
（2）∵f′（x）=

ax2+a?2

(ax+1)(x+1)2

（a＞0，x≥0），
若a≥2，x≥0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若0＜a＜2令f′(x)＝0得x＝

2?a a

或?

2?a a

（舍去），
∴函数f（x）在(0，

2?a a

)上单调递减，在(

2?a a ，+∞)

上单调递增．