Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-4）=-f（x），在[0，2]上f（x）是增函数，则下列结论：①若0

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-4）=-f（x），在[0，2]上f（x）是增函数，则下列结论：①若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=4，则f（x1）+f（x2）＞0；②若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=5，则f（x1）＞f（x2）；③若方程f（x）=m在[-8，8]内恰有四个不同的角x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=±8，其中正确的有（　　）A．0个B．1个C．2个D．3个

Answer 1

解答：解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，
综合条件得函数的示意图，由图看出，
①若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=4，f（x）在[0，2]上是增函数，则f（x₁）＞f（x₁-4）=f（-x₂）=-f（x₂）；则f（x₁）+f（x₂）＞0；故①正确；
②若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=5，f（x）在[0，2]上是增函数，由图可知：f（x₁）＞f（x₂）；故②正确；
③当m＞0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x₁+x₂+x₃+x₄=-8．
当m＜0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-2），另两个交点的横坐标之和为2×6，所以x₁+x₂+x₃+x₄=8．故③正确；
故选D．