Question

用第二类换元法求∫√(a²-x²)dx，为什么不能设x=acost求解，只设x

用第二类换元法求∫√(a²-x²)dx，为什么不能设x=acost求解，只设x=asint？

Answer 1

可以设，但要说明t的取值范围。

追问

那如果要设x=acost，t要怎么给范围，？为什么？

追答

Answer 2

let
x= asiny
dx =acosydy
∫√(a²-x²)dx
=a^2∫(cosy)^2dy
=(a^2/2)∫(1+cos2y)dy
=(a^2/2)[y+sin(2y)/2] + C
=(a^2/2)[arcsin(x/a)+ x√(a²-x²)/a^2] + C

追问

那如果让x=cost，该怎么做？

追答

可以，但因为常常有+，-号的改变，所以不用

x= acosy
dx = -asiny dy
∫√(a²-x²)dx
=-a^2∫(siny)^2.dy
=-(a^2/2)∫ (1-cos2y).dy
=-(a^2/2) (y-sin2y/2) + C
=-(a^2/2) [ arccos(x/a) -x√(a²-x²)/a^2 ] + C