Question

如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4． （1）试说明AE

如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4． （1）试说明AE 2 +CF 2 的值是一个常数；（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．

Answer 1

解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC， 又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，∴∠ABE=∠BCF。 ∵在△ABE和△BCF中，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠BFC， ∴△ABE≌△BCF（AAS）。 ∴AE=BF。∴AE 2 +CF 2 =BF 2 +CF 2 =BC 2 =16为常数。 （2）设AP=x，则PD=4﹣x， 由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，∴△PDM∽△BAP。 ∴ ，即 。 ∴ 。 ∵ ＜0，当x=2时，DM有最大值为1。

（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，结合∠ABE=∠BCF，证明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE 2 +CF 2 =BF 2 +CF 2 =BC 2 =16为常数。 （2）设AP=x，则PD=4﹣x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出关于x的二次函数，求出DM的最大值。