Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1（x＞0）（1）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，求实数a的最小值．（2

已知函数f（x）=lnx-ax+1（x＞0）（1）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，求实数a的最小值．（2）若a=52且关于x的方程f（x）=-12x2+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）设各项为正的数列{an}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*．求证：an≤2n-1．

Answer 1

（1）f′（x）=

1

x

?a=

1?ax

x

（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）上单调递增，
f（x）在[1，+∞）上无最大值，不合题意；
当0＜

1

a

≤1即a≥1时，f′（x）≤0，f（x）在[1，+∞）上递减，
所以f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（1）=-a+1，
由f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，得-a+1≤0，解得a≥1；
当

1

a

＞1即0＜a＜1时，x∈[1，

1

a

）时f′（x）＞0，f（x）递增，x∈（

1

a

，+∞）时f′（x）＜0，f（x）递减，
所以f(x)max＝f(

1

a

)=-lna，则-lna≤0，解得a≥1，此时无解；
综上，a≥1，所以实数a的最小值为1；
（2）f（x）=-

1

2

x2+b，即lnx+

1

2

x2?

5

2

x+1=b，
令g（x）=lnx+

1

2

x2?

5

2

x+1（x＞0），则g′（x）=

1

x

+x?

5

2

=

(x? 1 2 )(x?2)

x

，
当1≤x＜2时g′（x）＜0，g（x）递减，当2＜x≤4时g′（x）＞0，g（x）递增，
所以x=2时g（x）取得最小值为ln2-2，
又g（1）=-1，g（4）=ln4-1，所以g（x）的最大值为ln4-1，
作出g（x）在[1，4]上的草图如下：

由于方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，
根据图象可知b的范围为（ln2-2，-1]；
证明：（3）由（1）知，因为a_n+1=lna_n+a_n+2，
所以a_n+1≤a_n-1+a_n+2=2a_n+1，即a_n+1+1≤2（a_n+1），
所以

a2+1

a1+1

×

a3+1

a2+1

×

a4+1

a3+1

×…×

an+1

an?1+1

≤2×2×2×…×2=2^n-1，即

an+1

a1+1

≤2n?1，
所以a_n+1≤2ⁿ，即