Question

我市某商场有甲、乙两种商品，甲种每件进价15元，售价20元；乙种每件进价35元，售价45元．（1）若商家同

我市某商场有甲、乙两种商品，甲种每件进价15元，售价20元；乙种每件进价35元，售价45元．（1）若商家同时购进甲、乙两种商品100件，设甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y 元．写出y与x的函数关系式．（2）该商家计划最多投入3000元用于购进此两种商品共100件，则至少要购进多少件甲种商品？若售完这些商品，商家可获得的最大利润是多少元？（3）“五?一”期间，商家对甲、乙两种商品进行表中的优惠活动，小王到该商场一次性付款324元购买此类商品，商家可获得的最小利润和最大利润各是多少？ 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过400元 售价打九折 超过400元 售价打八折

Answer 1

解：（1）设甲商品购进x件，则乙商品购进（100﹣x）件，由题意，得 y=（20﹣15）x+（45﹣35）（100﹣x）=﹣5x+1000， ∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+1000。 （2）由题意，得15x+35（100﹣x）≤3000， 解得x≥25。 ∵y=﹣5x+1000中k=﹣5＜0，∴y随x的增大而减小。 ∴当x取最小值25时，y最大值，此时y=﹣5×25+1000=875（元）。 ∴至少要购进25件甲种商品；若售完这些商品，商家可获得的最大利润是875元。 （3）设小王到该商场购买甲种商品m件，购买乙种商品n件． ①当打折前一次性购物总金额不超过400时，购物总金额为324÷0.9=360（元）， 则20m+45n=360，m=18﹣ n＞0，∴0＜n＜8． ∵n是4的倍数，∴n=4，m=9。 此时的利润为：324﹣（15×9+35×4）=49（元）。 ②当打折前一次性购物总金额超过400时，购物总金额为324÷0.8=405（元）， 则20m+45n=405，m= ＞0，∴0＜n＜9。 ∵m、n均是正整数，∴m=9，n=5或m=18，n=1。 当m=9，n=5的利润为：324﹣（9×15+5×35）=14（元）； 当m=18，n=1的利润为：324﹣（18×15+1×35）=19（元）。 综上所述，商家可获得的最小利润是14元，最大利润各是49元。

试题分析：（1）根据利润=甲种商品的利润+乙种商品的利润就可以得出结论。 （2）根据“商家计划最多投入3000元用于购进此两种商品共100件”列出不等式，解不等式求出其解，再根据一次函数的性质，求出商家可获得的最大利润。 （3）设小王到该商场购买甲种商品m件，购买乙种商品n件．分两种情况讨论：①打折前一次性购物总金额不超过400；②打折前一次性购物总金额超过400。