Question

如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，那么这个几何

如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，那么这个几何体的内接长方体的最大体积为______．

Answer 1

根据题中的三视图，可得该几何体是底面直径与高都等于2的圆柱，
几何体的内接长方体的高等于圆柱的高，底面矩形是圆柱底面圆的内接矩形，
由于圆柱的高为定值2，可得当底面矩形面积最大时，内接长方体的体积有最大值．
设长方体的底面矩形的一边长为x，则另一边长为

22?x2

=

4?x2

，
∴矩形的面积S=x

4?x2

=

x2?(4?x2)

≤

1

2

[x²+（4-x²）]=2，
当且仅当x²=4-x²即x=

2

时，等号成立．因此矩形的两边长都为

2

时，矩形有最大面积2，
可得内接长方体的最大体积为V_max=s_max×h=2×2=4
故答案为：4