Question

已知函数f（x）=1x2-ax（x≠0，a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，1]上为

已知函数f（x）=1x2-ax（x≠0，a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，1]上为减函数，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=

1

x2

-

a

x

，
∴f（-x）=

1

x2

+

a

x

，
若a=0，则f（-x）=f（x）此时函数f（x）为偶函数，
若a≠0，f（-1）+f（1）=2≠0，f（-1）-f（1）=2a≠0，
即f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），
此时函数f（x）为非奇非偶函数；
（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂≤1，则f（x₁）-f（x₂）=

1

x12

?

1

x22

?(

a

x1

?

a

x2

)
=(

1

x1

?

1

x2

)(

1

x1

+

1

x2

?a)=

x2?x1

x1x2

?(

1

x1

+

1

x2

?a)，
要使函数f（x）在（0，1]上为减函数，
则f（x₁）-f（x₂）＞0．
∵x₂-x₁＞0，
∴

1

x1

+

1

x2

-a＞0，即a＜

1

x1

+

1

x2

，
∵0＜x₁＜x₂≤1，∴

1

x1

+

1

x2

＞2，
即a≤2，
即a的取值范围是（-∞，2]．