如图,底面是矩形的四棱锥P-ABCD中AB=2,BC=25,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.(1)证明:

如图,底面是矩形的四棱锥P-ABCD中AB=2,BC=25,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.(1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC;(2)求侧棱PC与底面... 如图,底面是矩形的四棱锥P-ABCD中AB=2,BC=25,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.(1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC;(2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角;(3)求直线AB与平面PCD的距离. 展开
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夹谷如曼
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知道答主
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解答:(1)证明:在矩形ABCD中,BC⊥AB   
又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥侧面PAB  
又∵BC?侧面PBC
∴侧面PAB⊥侧面PBC                                (4分)
(2)解:取AB中点E,连接PE、CE  

又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB
又∵侧面PAB⊥底面ABCD,∴PE⊥面ABCD,∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角
PE=
3
2
BA=
3
,CE=
BE2+BC2
3

∴在Rt△PEC中,∠PCE=45°为所求                          (8分)
(3)解:在矩形ABCD中,AB∥CD
∵CD?侧面PCD,AB?侧面PCD,∴AB∥侧面PCD
取CD中点F,连EF、PF,则EF⊥AB    
又∵PE⊥AB,PE∩EF=E,∴AB⊥平面PEF   
又∵AB∥CD
∴CD⊥平面PEF
∵CD?平面PCD,∴平面PCD⊥平面PEF    
作EG⊥PF,垂足为G,则EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中,EG=
PE?EC
PF
30
5
为所求.(12分)
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