Question

设坐标原点为O，抛物线y2=4x与过点（m，0）的直线交于A、B两点，若OA?OB＝?3，则m的值为______

设坐标原点为O，抛物线y2=4x与过点（m，0）的直线交于A、B两点，若OA?OB＝?3，则m的值为______．

Answer 1

因为直线与抛物线y²=4x交于A、B两点，
所以直线的斜率不等于0，
所以设直线的方程为：x=ty+m，
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂ ），
所以

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂ ），
所以

OA

?

OB

=（x₁，y₁）?（x₂，y₂ ）=x₁?x₂+y₁?y₂=（1+t²）y₁?y₂+tm（y₁+y₂）+m²=-3，①
联立直线与抛物线的方程

y2＝4x x＝ty+m

，
代入整理可得：y²-4ty-4m=0，
所以△=16（t²+m）＞0，y₁+y₂=4t，y₁?y₂=-4m，
所以代入①可得：m²-4m+3=0，
解得：m=1或者m=3，代入△可得符合题意．
故答案为：1或3．