Question

已知函数 f(x)= sin2x-cos2x+1 2sinx （Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）求f（x）的值域；（Ⅲ）

已知函数 f(x)= sin2x-cos2x+1 2sinx （Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）求f（x）的值域；（Ⅲ）设α的锐角，且 tan α 2 = 1 2 ，求 f（α）的值．

Answer 1

（I）由2sinx≠0， 得x≠kπ，（k∈Z）， 所以f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}． （II）当x≠kπ，（k∈Z）时 f(x)= sin2x-cos2x+1 2sinx = 2sinxcosx+2 sin 2 x 2sinx = sinx+cosx= 2 sin(x+ π 4 ) ， 所以f（x）的值域为 {y|- 2 ≤y≤ 2 ，且y≠±1} ． （III）因为α是锐角，且 tan α 2 = 1 2 ， 所以 tanα= 2tan α 2 1- tan 2 α 2 = 4 3 ， 从而 sinα= 4 5 ，cosα= 3 5 ， 故 f(α)=sinα+cosα═ 7 5 ．