Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1。 （1

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1。 （1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A-PC-D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长。

Answer 1

解：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD， 又由AD⊥AC，PA∩AC=A， 故AD⊥平面PAC， 又PC?平面PAC， 所以PC⊥AD。 （2）如图，作AH⊥PC于点H，连接DH， 由PC⊥AD，PC⊥AH， 可得PC⊥平面ADH， 因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A-PC-D的平面角 在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH= ， 由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH= = ， 因此sin∠AHD= = 所以二面角A-PC-D的正弦值为 。 （3）如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角 由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC， 在RT△DAC中，CD= ，sin=∠ADC= ， 故sin∠AFB= 在△AFB中，由 ，AB= ，sin∠FAB=sin135°= ， 可得BF= ， 由余弦定理，BF 2 =AB 2 +AF 2 -2ABAFcos∠FAB，得出AF= ， 设AE=h，在RT△EAF中，EF= = ， 在RT△BAE中，BE= = ， 在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°， 由余弦定理得到，cos30°= ，解得h= ， 即AE= 。