Question

设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值．若α1＝(1，1，0)T，α2＝(2，1，1)T，α3＝(?1，

设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值．若α1＝(1，1，0)T，α2＝(2，1，1)T，α3＝(?1，2，?3)T，都是A的属于特征值6的特征向量．（Ⅰ）求A的另一特征值和对应的特征向量；（Ⅱ）求矩阵A．

Answer 1

（1）
因为λ₁=λ₂=6是A的二重特征值，
所以A的属于6的线性无关的特征向量有两个，
由题知：α₁=（1，1，0）^T，α₂=（2，1，1）^T为A的属于6 的线性无关的特征向量，
又因为A的秩为2，
所以另一特征值：λ₃=0，设其对应的特征向量为α=（x₁，x₂，x₃）^T，
并且A为实对称矩阵，所以有：
α1Tα＝0，α2Tα＝0，
即：

x1+x2＝0 2x1+x2+x3＝0

，解得基础解系为：α=（-1，1，1）^T，
于是，属于λ₃=0的特征向量为：
kα=k（-1，1，1）^T （k为任意部位0的常数）．

（2）
令矩阵：P=（α₁，α₂，α₃），
则：P^-1AP=

6       6       0

，
∴A=P

6       6       0

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