在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+tanAtanB=2cb．（1）求角A；（2）已知a=23，bc=10，求b
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+tanAtanB=2cb．（1）求角A；（2）已知a=23，bc=10，求b+c的值．...
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+tanAtanB=2cb．（1）求角A；（2）已知a=23，bc=10，求b+c的值．
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（1）∵1+
=
，tanA=
，tanB=
，
∴1+
=
，可得
=
，即
=
，
∵△ABC中，sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
＝
∴
＝
，结合sinC＞0，化简得cosA＝
．
结合A是三角形的内角，可得A=
；
（2）根据余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，
∵A=
，a＝2
，bc＝10，
∴12=b2+c2-2×10×cos
，化简得b2+c2=22，
由此可得（b+c）2=b2+c2+2bc=22+20=42．
∴b+c＝
（舍负）．
| tanA |
| tanB |
| 2c |
| b |
| sinA |
| cosA |
| sinB |
| cosB |
∴1+
| sinAcosB |
| cosAsinB |
| 2c |
| b |
| cosAsinB+sinAcosB |
| cosAsinB |
| 2c |
| b |
| sin(A+B) |
| cosAsinB |
| 2c |
| b |
∵△ABC中，sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
| 2c |
| b |
| 2sinC |
| sinB |
∴
| sinC |
| cosAsinB |
| 2sinC |
| sinB |
| 1 |
| 2 |
结合A是三角形的内角，可得A=
| π |
| 3 |
（2）根据余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，
∵A=
| π |
| 3 |
| 3 |
∴12=b2+c2-2×10×cos
| π |
| 3 |
由此可得（b+c）2=b2+c2+2bc=22+20=42．
∴b+c＝
| 42 |
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