Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点，F为线段PC上一点．（

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点，F为线段PC上一点．（Ⅰ）求证：AE⊥PD；（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的 正切值为72，若二面角E-AF-C的余弦值为31313，求PFPC的值．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，所以AE⊥PD；
（Ⅱ）以A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系

设AB=2，

PF

PC

=λ，则A（0，0，0），B（

3

，-1，0），D（0，2，0）
E（

3

，0，0），
过A作AH⊥PD，垂足为H，连接AH，则∠AHE为EH与平面PAD所成最大角，
∵EH与平面PAD所成最大角的正切值为

7

2

，AE=

3

∴AH=

2 21

7

，∴DH=

4 7

7

，∴PD=

7

∴PA=

3

∴P（0，0，

3

），F（

3

λ，λ，

3

(1?λ)），

DB

=（

3

，-3，0）为平面AFC的一个法向量
设平面AEF的法向量为

n1

＝(x，y，z)，则

n1 ? AE ＝0 n1 ? AF ＝0

，即

推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2016-12-01 如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点 35 2017-12-16 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，平面PCD⊥底面ABCD，E是AB的中点，G为PA上的一点． 3 2011-02-17 已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,E为BC中点,求证:AE⊥PD。 25 2016-11-18 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E，G分别是CD，PC的中点，点F在P 2 2016-07-18 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为PA的中点，F为BC的中点，底面ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点 2 2016-12-01 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，点E是PC的中点，F是AB 2 2017-12-15 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，AB=2，E为PC的中点，DE=2，PC=4，直线DE与平面P 2 2013-03-12 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，点F为PC中点。求证PA//平面BD 10 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 新生报道需要注意什么？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2025Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式