Question

等边三角形内部一点到三个顶点的距离分别是3、4、5，则这个等边三角形的边长的平方是______

等边三角形内部一点到三个顶点的距离分别是3、4、5，则这个等边三角形的边长的平方是______．

Answer 1

https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/730e0cf3d7ca7bcb7ef7399ebd096b63f724a8f7?x-bce-process=image/quality,q_85 设PB=3，PA=4，PC=5， 将△PBC绕B点逆时针旋转60°至△BDA（如图）， ∴DB=PB=3，AD=CP=5，△DBP是等边三角形， ∴∠DPB=60°， 在△ADP中，AP 2 +DP 2 =4 2 +3 2 =25=AD 2 ， ∴∠APD=90°， 所以∠APB=150°； 作BE⊥AP于E（如图）， 则∠BPE=30°， ∴BE= 1 2 BP= 3 2 ， ∴PE= 3 2 3 ， ∴AE=4+ 3 2 3 ∴ A B 2 =B E 2 +A E 2 =( 3 2 ) 2 +(4+ 3 2 3 ) 2 =25+12 3 ． 故答案为25+12 3 ．