Question

如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E．（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要

如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E．（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）；（2）若∠ABC为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形．〔要求：写出6个结论即可，其它要求同（1）〕

Answer 1

（1）①DE是⊙O的切线， ②AB=BC， ③∠A=∠C， ④DE 2 =BE?CE， ⑤CD 2 =CE?CB， ⑥∠C+∠CDE=90°， ⑦CE 2 +DE 2 =CD 2 ； 以上结论可任意选择． 证明：连接OD、BD； ∵D、O分别是AC、AB的中点， ∴OD是△ABC的中位线，则OD ∥ BC； ∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，即DE是⊙O的切线；① ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°； ∵D是AC的中点，∴BD垂直平分AC； ∴AB=BC②，∠A=∠C③； 在Rt△CDB中，DE⊥BC，由射影定理得：CD 2 =CE?CB⑤，DE 2 =BE?CE④； 在Rt△CDE中，DE⊥CE，则∠C+∠CDE=90°，由勾股定理得CD 2 =CE 2 +DE 2 ⑦； （2）①CE=BE，②DE=BE， ③DE=CE，④DE ∥ AB， ⑤CB是⊙O的切线，⑥DE= 1 2 AB， ⑦∠A=∠CDE=45°， ⑧∠C=∠CDE=45°， ⑨CB 2 =CD?CA， ⑩ CD CA = CE CB = DE AB ， （11）AB 2 +BC 2 =AC 2 （12） CD DA = CE EB ； 证明：∵∠ABC=90°，且AB是⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线；⑤ ∵DE⊥BC，AB⊥BC， ∴DE ∥ AB；④ ∴ CD CA = CE CB = DE AB ⑩， CD DA = CE EB ；（12） ∵D是AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，得BE=CE①，DE= 1 2 AB⑥； 在Rt△DBC中，E是斜边BC的中点，则DE=BE②，DE=CE③； 由（1）易知△ABC是等腰直角三角形，则∠A=∠CDE=45°⑦，∠C=∠CDE=45°⑧； 在Rt△CBA中，∠ABC=90°，由勾股定理得AB 2 +BC 2 =AC 2 （11）； 由于BD⊥AC，由射影定理得CB 2 =CD?CA⑨．