Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC= （ ），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD. （1）如图1，直接写出∠AB

在△ABC中，AB=AC，∠BAC= （ ），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD. （1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含 的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求 的值。

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Answer 1

（1）∠ABD=30°- a;（2）△ABE是等边三角形（证明见解析）;（3）a=30°.

试题分析：（1）在等腰三角形中,顶角和底角的关系是∠B= (180°-∠A),∵AB=AC，∴∠ABC=∠C, ∵∠BAC= ,∴∠ABC= (180°-a),∴∠ABD=∠ABC -60°=30°- a;（2）直观上看△ABE是等边三角形,而且有一个角是60°,只需要证明AB=BE即可,找到包含这两条线段的三角形△ABD和△BCE,故连接AD,CD,因为∠ABE=60°, ∠ABD=30°- a,∠DBE=30°+ a,又因为∠DBC=60°,所以∠CBE=30° - a=∠ABD,因为∠DBC=60°,BD=BC,所以△BDC是等边三角形,所以BD=CD,在△ABD和△ACD中,AB=AC, BD=CD,AD=AD,所以△ABD≌△ACD,所以∠BAD=∠CAD= a,在△BCE中,∠BCE=150°，∠CBE=30°- a,∠BEC= a=∠BAD,在△ABD和△CBE中, ∠BEC=∠BAD, ∠CBE=∠ABD,AB="AC" ,所以△ABD≌△CBE,所以AB=BE;（3）由(2)知△BDC是等边三角形,所以∠BCD=60°,因为∠BCE=150°，所以∠DCE=90°,因为∠DEC=45°,所以△DCE是等腰直角三角形,所以CD=CE=BC,在△BCE中, ∠BCE=150°，所以∠CBE=30° - a=15°, 所以a=30°. 试题解析：（1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C, ∵∠BAC= , ∴∠ABC= (180°-a), ∴∠ABD=∠ABC -60°=30°- a; （2）故连接AD,CD, ∵∠ABE=60°, ∠ABD=30°- a,∠DBE=30°+ a, 又∵∠DBC=60°, ∴∠CBE=30°- a=∠ABD, ∵∠DBC=60°,BD=BC, ∴△BDC是等边三角形, ∴BD=CD, 在△ABD和△ACD中,AB=AC,BD=CD,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD, ∴∠BAD=∠CAD= a, 在△BCE中,∠BCE=150°，∠CBE=30°- a,∠BEC= a=∠BAD, 在△ABD和△CBE中, ∠BEC=∠BAD, ∠CBE=∠ABD,AB="AC" , ∴△ABD≌△CBE, ∴AB=BE; （3）由(2)知△BDC是等边三角形, ∴∠BCD=60°, ∵∠BCE=150°， ∴∠DCE=90°, ∵∠DEC=45°, ∴△DCE是等腰直角三角形, ∴CD=CE=BC,在△BCE中, ∠BCE=150°， ∴∠CBE=30°- a=15°, ∴a=30°.