Question

已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝3x9x+1?12，（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的

已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝3x9x+1?12，（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；（2）求y=f（x）的值域；（3）求不等式f(x)＞13的解集．

Answer 1

（1）设x₁＜x₂＜0，则3x1＜3x2，3x1+x2＜1
∵f(x1)?f(x2)＝

3x1

9x1+1

?

3x2

9x2+1

＝

3x1+2x2+3x1?32x1+x2?3x2

(9x1+1)(9x2+1)

＝

(3x1?3x2)(1?3x1+x2)

(9x1+1)(9x2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），即y=f（x）在（-∞，0）上是增函数．   
（2）∵0＜

3x

9x+1

＝

1

3x+ 1 3x

≤

1

2

，
∴当x≤0时，f(x)＝

3x

9x+1

?

1

2

∈(?

1

2

，0]；             
∵当x＞0时，f(x)＝

1

2

?

3x

9x+1

∈(0，

1

2

)．&