Question

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求证：MN⊥C

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求证：MN⊥CD．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取的PD中点为E，并连接NE．AE∵M、N分别为AB、PC的中点
∴NE∥CD且NE＝

1

2

CD，AM∥CD且AM＝

1

2

CD∴AM∥NE且AM=NE
∴四边形AMNE为平行四边形∴AE∥MN
又∵又AE?在平面PAD，MN?在平面PAD∴A₁C∥平面BDE．
∴MN∥平面PAD（4分）

（Ⅱ）证明：∵PA⊥矩形ABCD∴PA⊥CD又
∵四边形ABCD为矩形∴AD⊥CD
∴CD⊥平面PAD
又∵AE?在平面PAD∴CD⊥AE
再∵AE∥MN
∴MN⊥CD