Question

如图所示，带正电的粒子以水平速度v0从平行金属板MN间中线OO′连续射入，MN板间接有如图乙所示的随时间变

如图所示，带正电的粒子以水平速度v0从平行金属板MN间中线OO′连续射入，MN板间接有如图乙所示的随时间变化的电压uMN，令电场只存在两板间，紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B，CD为分界线、EF为屏幕，已知金属板间距、磁场宽度、极板长均为0.2m，每个带正电粒子速度v0=105m/s，比荷为q/m=108C/kg，B=5×10-3T，粒子重力不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，可认为电场是恒定不变的，求：（1）带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径；（2）带电粒子射出电场的最大速度；（3）带电粒子打在屏幕EF上的范围．

Answer 1

解：（1）t=0时刻射入电场的带电粒子不被加速，进入磁场做圆周运动的半径最小，
粒子在磁场中运动时有qv₀B=m

v 2 0

r

r_min=

mv0

qB

=

105

5×10?3×108

m=0.2m
（2）因带电粒子通过电场时间t=

l

v0

=2×10^-6s＜T，所以带电粒子通过电场过程中可认为电场恒定不变．
设两板间电压为U₁时，带电粒子能从N板右边缘飞出，
则 

d

2

=

1

2

U1q

dm

(

l

v0

)2
得  U₁=

md2 v 2 0

ql2

=100V
在电压低于或等于100V时，带电粒子才能从两板间射出电场，故U₁=100V时，
带电粒子射出电场速度最大，q

U1

2

1

2

m

v

2 m

-

1

2

mv₀²
解得：v_m=

v 2 0 + qU1 m

=1.41×10⁵m/s
（3）t=0时刻进入电场中粒子，进入磁场中圆轨迹半径最小，打在荧光屏上最高点E，
O′E=r_min=0.2m
从N板右边缘射出粒子，进入磁场中圆轨迹半径最大，
qv_mB=m

v 2 m

rm

解得：r_m=

mvm

qB

=

2

5

m
因v_m=

2

v₀，故tanθ=

vy

v0

=1，θ=45°，
O₂P=2×

2

?

d

2

=0.2

2

m=r_max
所以从P点射出粒子轨迹圆心O₂正好在荧光屏上且O₂与M板在同一水平线上，0′O₂=

d

2

=0.1m，
O′F=r_m-O₂O′=

2

5

-0.1=0.18（m）
带电粒子打在荧光屏AB上范围为：EF=O′E+O′F=0.38m
答：（1）带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径为0.2m；
（2）带电粒子射出电场时的最大速度为1.41×10⁵m/s；
（3）带电粒子打在屏幕EF上的范围为离屏幕中心上0.2m，下0.18m，长度为0.38m．