Question

如图所示，质量为m、电阻为r，边长为L的正方形导线框abcd，其下边cd距足够大的匀强磁场上边界PQ的距离为h

如图所示，质量为m、电阻为r，边长为L的正方形导线框abcd，其下边cd距足够大的匀强磁场上边界PQ的距离为h．已知磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里．现使线框从静止开始自由下落，下落过程中ab边始终水平，不计空气阻力，重力加速度为g，求：（1）如果线框进入磁场时仍做加速运动，那么线框刚进入磁场时加速度大小是多少？（2）如果ab边进入磁场前线框速度已达到稳定，则该速度为多少？（3）如果ab边进入磁场前线框速度已达到稳定，则线框在cd边进入磁场到ab边进入磁场的过程中产生的热量是多少？

Answer 1

（1）线框进入磁场前做自由落体运动，根据动能定理可以求出线框进入磁场时的速度v，即：
mgh=

1

2

mv2?0
可得线框进入磁场时的速度为：v＝

2gh

所以线框cd边切割磁感线产生的电动势为：E=BLv=BL

2gh

故线框中产生的电流为：I=

E

R

＝

BL 2gh

r

线框在磁场中所受安培力为：F=BIL=

B2L2 2gh

r

线框所受合力为：F_合=mg-F
根据牛顿第二定律有线框产生的加速度为：a＝

F合

m

＝

mg? B2L2 2gh r

m

=g?

B2L2 2gh

mr

（2）当线框匀速运动时处于稳定状态，故此时线框所受合力为0，即线框所受安培力大小与重力大小相等
即：mg=BIL
可得此时线框中的感应电流为：I=

mg

BL

则线框中产生的感应电动势为：E=Ir=

mgr

BL

据E=BLV可得线框的速度为：v=

E

BL

=

mgr

B2L2

（3）由（2）分析知线框匀速运动时线框速度v=

mgr

B2L2

，线框下落高度为h+L，在此过程中根据能量转化与守恒定律，线框减小的重力势能等于线框增加的动能和产生的热量之和即：
mg（h+L）=Q+

1

2

mv2
所以线框产生的热量为：
Q＝mg(h+L)?

1

2

mv2=mg(h+L)?

1

2

m(

mgr

B2L2

)2=mg(h+L)?

m3g2r2

2B4L4

答：（1）如果线框进入磁场时仍做加速运动，那么线框刚进入磁场时加速度大小是g?

B2L2 2gh

mr

；
（2）如果ab边进入磁场前线框速度已达到稳定，则该速度为

mgr

B2L2

；
（3）如果ab边进入磁场前线框速度已达到稳定，则线框在cd边进入磁场到ab边进入磁场的过程中产生的热量是mg(h+L)?

m3g2r2

2B4L4

．