Question

（2011?罗湖区模拟）已知：如图，⊙O中，直径AB=5，在它的不同侧有定点C和动点P，BC：CA=4：3，点P在AB上

（2011?罗湖区模拟）已知：如图，⊙O中，直径AB=5，在它的不同侧有定点C和动点P，BC：CA=4：3，点P在AB上运动（点P不与A、B重合），CP交AB于点D，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．（1）当点P与点C关于AB对称时，求CD和CQ的长；（2）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．





Answer 1

（l）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，（1分）
∵AB=5，BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3，
∵AC?BC=AB?CD，
∴CD=

AC?BC

AB

=

12

5

，
∴PC=2CD=

24

5

．
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴

AC

PC

=

BC

CQ

，
∴CQ=

4

3

PC=

32

5

；

（2）点P在弧AB上运动时，在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴

AC

PC

=

BC

CQ

，
∴CQ＝

PC?BC

AC

．
∴当PC取得最大值时，CQ的值最大，
而当PC为圆的直径时，PC的值最大，最大为5，此时CQ=

20

3

．