Question

设奇函数f（x）在[-1，1]上具有二阶导数，且f（1）=1，证明：（1）存在ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=1；

设奇函数f（x）在[-1，1]上具有二阶导数，且f（1）=1，证明：（1）存在ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=1；（2）存在η∈（-1，1），使得f″（η）+f′（η）=1．

Answer 1

证明如下：

1、由于f（x）为奇函数，则f（0）=0，由于f（x）在[-1，1]上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在ξ∈（0，1），使得f′(ξ)＝f(1)−f(0)  /  1−0   ＝1

2、由于f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数，由（1）可知存在ξ∈（0，1），使得f'（ξ）=1，且f'（-ξ）=1，

令φ（x）=f'（x）+f（x），由条件显然可知在φ（x）在[-1，1]上可导，由拉格朗日中值定理可知，存在η∈（-1，1），使得φ(1)−φ(−1)  / 1−(−1)    ＝φ′(η)成立；

φ（1）-φ（-1）=f'（1）+f（1）-f'（-1）-f（-1）=2f（1）=2，从而φ'（η）=1成立，即f''（η）+f'（η）=1

扩展资料：

奇函数的特点：

1、奇函数图象关于原点（0,0）对称。

2、奇函数的定义域必须关于原点（0,0）对称，否则不能成为奇函数。

3、若f（x）为奇函数，且在x=0处有意义，则f（0）=0。

4、设f（x）在定义域I上可导，若f（x）在I上为奇函数，则f（x）的导函数在I上为偶函数。

Answer 2

证明：（1）由于f（x）为奇函数，则f（0）=0，由于f（x）在[-1，1]上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在ξ∈（0，1），使得f′(ξ)＝

f(1)?f(0)

1?0

＝1
（2）由于f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数，由（1）可知存在ξ∈（0，1），使得f'（ξ）=1，且f'（-ξ）=1，
令φ（x）=f'（x）+f（x），由条件显然可知在φ（x）在[-1，1]上可导，由拉格朗日中值定理可知，存在η∈（-1，1），使得

φ(1)?φ(?1)

1?(?1)

＝φ′(η)成立，φ（1）-φ（-1）=f'（1）+f（1）-f'（-1）-f（-1）=2f（1）=2，从而φ'（η）=1成立，即f''（η）+f'（η）=1

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示