Question

已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（2）若a=1，函数f（x）的

已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（2）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由；（3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，x=2是方程f（x）=0的一个根，求证：f（1）≤-2．

Answer 1

∵f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）
∴f'（x）=-3x²+2ax=-x（3x-2a）．
（1）若a＞0，令f'（x）=0得x₁=0，x₂=

2a

3

，则

2a

3

＞0

∴f（x）的单调增区间为：（0，

2a

3

），单调递减区间为：（-∞，0），（

2a

3

，+∞）

（2）若a=1，由（1）可得f（x）在(0，

2

3

)上单调递增，
则x∈(0，

2

3

)时，f（x）＞f（0）=b
∴f（x）的图象不可能总在直线y=b的下方．
（3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，则x∈[0，2]时f'（x）=-3x²+2ax≥0恒成立．
即a≥

3x2

2x

＝

3

2

x对x∈[0，2]恒成立，
∴a≥3．
又f（2）=0，
∴-8+4a=b+0得b=8-4a，
∴f（1）=-1+a+b=7-3a≤-2．