Question

已知函数f（x）=x+1x（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明f（x）在（0，1）是减函数

已知函数f（x）=x+1x（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明f（x）在（0，1）是减函数．

Answer 1

解答：（1）解：函数为奇函数．
函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x）
∴f（x）是奇函数；
（2）证明：设x₁、x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-x₂-

1

x2

=

(x1?x2)(x1x2?1)

x1x2

∵x₁、x₂∈（0，1），∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，
∴

(x1?x2)(x1x2?1)

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴（x）在（0，1）上是减函数．