Question

如图，在△ABC中，AB=AC，在AC上取一点E，在BA的延长线上取一点D，使AD=AE，连接DE并延长交BC于F。求证：

如图，在△ABC中，AB=AC，在AC上取一点E，在BA的延长线上取一点D，使AD=AE，连接DE并延长交BC于F。求证：DF⊥BC。若把条件“AD=AE”与结论“DF⊥BC”互换，是否还成立，试证之。若把条件“AB=AC”与结论“DF上BC”互换呢？

Answer 1

证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 又∵AD=AE， ∴∠D=∠AED， ∴∠ABC+∠D=∠ACB+∠AED， ∴∠ABC+∠D=∠ACB+∠CEF， ∴∠EFC=∠BFE=180°× = 90°， ∴DF⊥BC； 若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。 ∵DF⊥BC， ∴∠EFC=90°， ∴∠C+∠CEF=∠B+∠D=90° ， 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠D=∠DEA ∴AD=AE； 若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。