Question

如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F

如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F. （1）求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FC=CE；（3）若弦AD=5㎝，AC=8㎝，求⊙O的半径.

Answer 1

（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O ∴DF⊥DE　　　又∵AC∥DE　　　 ∴DF⊥AC　　　∴DF垂直平分AC  （2）由（1）知：AG=GC　　 又∵AD∥BC　　∴∠DAG=∠FCG 又∵∠AGD=∠CGF　　　∴△AGD≌△CGF（ASA） ∴AD=FC　　　 ∵AD∥BC且AC∥DE　　　 ∴四边形ACED是平行四边形 ∴AD=CE　　　∴FC=CE （3）连结AO； ∵AG=GC，AC=8cm，∴AG=4cm 在Rt△AGD中，由勾股定理得 GD=AD 2 -AG 2 =5 2 -4 2 =3cm 设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3 在Rt△AOG中，由勾股定理得 AO 2 =OG 2 +AG 2 有：r 2 =(r-3) 2 +4 2 解得 r=256 ∴⊙O的半径为256cm.