Question

问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为直线AB

问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为直线AB上的一动点（点D不与点A，B重合）连接CD，以点C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接BE，试探索线段AB，BD，BE之间的数量关系．小组展示：“希望”小组展示如下：解：线段AB，BD，BE之间的数量关系是AB=BE+BD．证明：如图①∵∠ACB=90°，∠DCE=90°∴∠ACB=∠DCE∴∠ACB=∠DCB=∠DCE-∠DCB即∠ACD=∠BCE∵CE是由CD旋转得到．∴CE=CD则在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE∴△ACD≌△BCE（依据1）∴AD=BE（依据2）∵AB=AD+BD∴AB=BE+BD反思与交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______依据2：______（2）“腾飞”小组提出了与“希望”小组不同的意见，认为还有两种情况需要考虑，你根据他们的分类情况直接写出发现的结论：①如图②，当点D在线段AB的延长线上时，三条点段AB，BD，BE之间的数量关系是______．②如图③，当点D在线段BA的延长线上时，三条线段AB，BD，BE之间的数量关系是______．（3）如图④，当点D在线段BA的延长线上时，若CD=4，线段DE的中点为F，连接FB，求FB的长度．

Answer 1

（1）依据1：SAS，依据2：全等三角形对应边相等；

（2）①BD，BE之间的数量关系是 AB=BE-BD．
    ②BD，BE之间的数量关系是 AB=BD-BE．

（3）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45°
∵∠ACD=90°-∠ACE，∠BCE=90°-∠ACE，
∴∠∠AED=∠BCE，
∵在△ADC和△BEC中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAB=45°，
∴∠CAD=135°，
∴∠CBE=135°，
又∵∠ABC=45°
∴∠DBE=∠CBE-∠ABC=135°-45°=90°
∴△DBE是直角三角形
∵线段DE的中点为点F，
∴BF=

1

2

DE，
因为在Rt△DCE中，CD=CE=4，
∴DE=

DC

Sin45°

=

4

2 2

=4

2

，
∴BF=2

2

．