Question

（2014?市中区二模）如图，已知直线y=-x+4与x轴、y轴分别相交于A、B两点．P、Q分别是x轴与y轴上的动点，

（2014?市中区二模）如图，已知直线y=-x+4与x轴、y轴分别相交于A、B两点．P、Q分别是x轴与y轴上的动点，点P从点A向x轴正方向移动，点Q从B点向点O移动，当点Q到达点0时，P、Q均停止运动，二者同时出发，速度相同．（1）求A，B两点的坐标；（2）设AP=t，△PAQ的面积为S，试求S与t的关系式；当S取最大值时，求PQ与AB的交点坐标；（3）若PQ交AB于点C，以QC为直径的圆交AB于另一点D，试判断CD的长度是否随P、Q的移动而变化，并说明理由．

Answer 1

（1）
对y=-x+4，
当x=0时，y=4，
当y=0时，x=4，
∴A（4，0），B（0，4）．

（2）
∵AP=BQ=t，OB-4，
∴OQ=4-t，
∴S_△PAQ=

1

2

AP?OQ=

1

2

t（4-t）=-

1

2

t²+2t，
∴根据二次函数最值性质，当t=?

2

2?(? 1 2 )

=2时，S取最大．
此时P（6，0），Q（0，2），
设PQ关系式为：y=kx+b，代入P、Q两点坐标，
解得

k＝? 1 3 b＝2

，
∴PQ：y=-

1

3

x+2．
∵C为AB与PQ的交点，
∴设C（x，y），其满足方程组

y＝?x+4 y＝? 1 3 x+2

，
解得

x＝3 y＝1

，
∴C（3，1）．

（3）
CD的长度不随P、Q的移动而变化，原因如下：

如图