Question

（2009?株洲）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞

（2009?株洲）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．

Answer 1

（1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC=m，OA=m-3，
∴点A的坐标是（3-m，0）．

（2）解：∵∠ODA=∠OAD=45°∴OD=OA=m-3，则点D的坐标是（0，m-3）．
又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，
所以可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，
得：

a(3?1)2＝m a(0?1)2＝m?3

解得

a＝1 m＝4

∴抛物线的解析式为y=x²-2x+1；

（3）证明：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，
设点Q的坐标是（x，x²-2x+1），
则QM=CN=（x-1）²，MC=QN=3-x．
∵QM∥CE
∴△PQM∽△PEC
∴

QM

EC

＝

PM

PC

即

(x?1)2

EC

＝

x?1

2

，得EC=2（x-1）
∵QN∥FC
∴△BQN∽△BFC
∴

QN

FC

＝

BN

BC

即

3?x

FC

＝

4?(x?1)2

4

，得FC＝

4

x+1

又∵AC=4
∴FC（AC+EC）=

4

x+1

[4+2（x-1）]=

4

x+1

（2x+2）=

4

x+1

×2×（x+1）=8
即FC（AC+EC）为定值8．