Question

（2014?滨州）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△C

（2014?滨州）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．①当t为何值时，DP⊥AC？②设S△APQ+S△DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠QPA=∠QDC，∠QAP=∠QCD，
∴△APQ∽△CDQ．

（2）解：①当DP⊥AC时，∠QCD+∠QDC=90°，
∵∠ADQ+∠QDC=90°，
∴∠DCA=∠ADP，
∵∠ADC=∠DAP=90°，
∴△ADC∽△PAD，
∴

AD

PA

=

DC

AD

，
∴

10

PA

=

20

10

，
解得 PA=5，
∴t=5．
②设△AQP的边AP上的高h，则△QDC的边DC上的高为（10-h）．
∵△APQ∽△CDQ，
∴

h

10-h

=

AP

DC

=

t

20

，
解得 h=

10t

20+t

，
∴10-h=

200

20+t

，
∴S_△APQ=

1

2

?AP?h=

5t2

20+t

，
S_△DCQ=

1

2

?DC?(10-h)=

2000

20+t

，
∴y=S_△APQ+S_△DCQ=

5t2

20+t

+

2000

20+t

=

5t2+2000

20+t

（0≤t≤20）．
探究：
t=0，y=100；
t=1，y≈95.48；
t=2，y≈91.82；
t=3，y≈88.91；
t=4，y≈86.67；
t=5，y=85；
t=6，y≈83.85；
t=7，y≈83.15；
t=8，y≈82.86；
t=9，y≈82.93；
t=10，y≈83.33；
t=11，y≈84.03；
t=12，y=85；
t=13，y≈86.21；
t=14，y≈87.65；
t=15，y≈89.29；
t=16，y≈91.11；
t=17，y≈93.11；
t=18，y≈95.26；
t=19，y≈97.56；
t=20，y=100；
观察数据知：
当0≤t≤8时，y随t的增大而减小；
当9≤t≤20时，y随t的增大而增大；
故y在第8秒到第9秒之间取得最小值．

Answer 2

第三小问有待商榷
如题
如楼上所说，y=5(t²+400/t+20)
=5(t+20+800/t+20)+200
∵a+b≥2√ab,且a＝b时，等号成立。
∴y的最小值为t+20+800/t+20最小时
∴t+20=800/t+20时，y最小
∴t=20√2-20
去嘲讽你们的老师吧！！！，他写不出来的。
楼上的是中考答案，我是用高中函数硬解出的最小值。