Question

（2014?槐荫区一模）如图，等腰Rt△ABC的直角边长为22，点O为斜边AB的中点，点P为AB上任意一点，连接PC，

（2014?槐荫区一模）如图，等腰Rt△ABC的直角边长为22，点O为斜边AB的中点，点P为AB上任意一点，连接PC，以PC为直角边作等腰Rt△PCD，连接BD．（1）求证：PCCD＝COCB；（2）请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．（3）当点P在线段AB上运动时，设AP=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

Answer 1

（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴O是AB的中点
∴∠OCB=∠CBO=45°，∠COB=∠AOC=90°，
∴△BCO为等腰直角三角形，
∴

OC

BC

=

2

2

，
∵△PCD为等腰直角三角形
∴∠PCD=45°，

PC

CD

=

2

2

，
∴

PC

CD

=

CO

CB

；

（2）由（1）可知：
∴∠PCO+∠OCD=∠BCD+∠OCD=45°，
∴∠PCO=∠BCD，
又∵

PC

CD

=

CO

CB

，
∴△PCO∽△DCB，
∴∠CBD=∠AOC=90°，
∴∠ABD=∠BAC=45°，
∴AC∥BD；

（3）分两种情况讨论：
①当点P在线段AO上时，
作PE⊥BD，如图1，
∵AC=BC=2

2

，△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=2AO=2BO=4，
∴PO=2-x，BP=4-x，
∵△PCO∽△DCB，
∴

CO

CB

=

PO

BD

，
即：

2

2 2

=

2?x

BD

，
∴BD=

2

（2-x），
∵∠PBE=45°，
∴PE=

2

2

（4-x），
∴S=

1

2

?

2

（2-x）?

2

2

（4-x）=

1

2

x²-3x+4，
②当点P在线段BO上时，
作PE⊥BD，如图2，
可知：OP=x-2，BP=4-x，
∵△PCO∽△DCB
∴

CO

CB

=

PO

BD

，
即：

2

2 2

=

x?2

BD

，
∴BD=

2

（x-2），
∵∠PBE=45°，
∴PE=

2

2

（4-x），
∴S=

1

2

?

2

（x-2）?

2

2

（4-x）=-

1

2

x²+3x-4．