Question

已知函数f（x）=ex+ax2-e2x．（1）若曲线在点（2，f（2））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；

已知函数f（x）=ex+ax2-e2x．（1）若曲线在点（2，f（2））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（2）若x∈（0，1）时，总有f（x）＞xex-e2x+1，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由f′（x）=e^x+2ax-e²，得
y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率k=4a=0，
∴a=0．
此时f（x）=e^x-e²x，f′（x）=e^x-e²．
由f′（x）=0，得x=2．
当x∈（-∞，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，2）上单调递减．
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，2）上单调递增．
（2）由f（x）＞xe^x-e²x+1，得
（x-1）e^x-ax²+1＜0．
令g（x）=（x-1）e^x-ax²+1＜0．x∈（0，1），
则g′（x）=x（e^x-2a）．
∵x∈（0，1），
∴1＜e^x＜e．
①当2a≤1，即a≤

1

2

时，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增．
∴g（x）＞g（0）=0，不合题意，应舍去．
②当2a≥e，即a≥

e

2

时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减．
∴g（x）＜g（0）=0，满足要求．
③当1＜2a＜e，即

1

2

＜a＜

e

2

时，令g′（x）=0得x=ln（2a）．
当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，ln（2a））上单调递减．
当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）在（ln（2a），1）上单调递增．
∵g（0）=0，g（1）=-a+1，
∴令g（1）=-a+1≤0得
1≤a＜

e

2

．
综上所述，实数a的取值范围为[1，+∞）