Question

若a＞0，b＞0，且1a+1b=ab．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由

若a＞0，b＞0，且1a+1b=ab．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且

1

a

+

1

b

=

ab

，
∴

ab

=

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

，
∴ab≥2，
当且仅当a=b=

2

时取等号．
∵a³+b³ ≥2

(ab)3

≥2

23

=4

2

，当且仅当a=b=

2

时取等号，
∴a³+b³的最小值为4

2

．
（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2

2a?3b

=2

6ab

≥4

3

＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．