Question

（理科）已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数y=f（x）的图象在

（理科）已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对任意的t∈[1，2]，若函数g(x)＝x3+x2[f/(x)+m2]在区间（t，3）上有最值，求实数m取值范围；（3）求证：ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）（文科） 已知函数f(x)＝ax3+12x2?2x+c（1）若x=-1是f（x）的极值点且f（x）的图象过原点，求f（x）的极值；（2）若g(x)＝12bx2?x+d，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）的图象与函数f（x）的图象恒有含x=-1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由．

Answer 1

（1） f′(x)＝

a

x

?a(x＞0)，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数
（2）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
所以f′（2）=1，所以a=-2，f′(x)＝

?2

x

+2，
g(x)＝x3+x2[

m

2

+2?

2

x

]＝x3+(

m

2

+2)x2?2x，g′（x）=3x²+（4+m）x-26
因为对于任意的t∈[1，2]，函数 g(x)＝x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上
总存在极值，所以只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，解得 ?

37

3

＜m＜?9
（3）令a=-1（或a=1）
此时f（x）=-lnx+x-3，
所以f（1）=-2，
由（1）知f（x）=-lnx+x-3，在[1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N^*，
则有 ln(

1

n2

+1)＜

1

n2

＜

1

(n?1)n

＝

1

n?1

?

1

n

，
∴要证ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）＜1+2lnn!
即要证 ln(

1

22

+1)+ln(

1

32

+1)+ln(

1

42

+1)+…+ln(

1

n2

+1)＜1，
而 ln(

1

22

+1)+ln(

1

32

+1)+ln(

1

42

+1)+…+ln(

1

n2

+1)
＜1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+

1

3

?

1

4

+…+

1

n?1

?

1

n

=1-

1

n

＜1．
（文科）（1）∵f（x）的图象过原点
∴c=0，f'（x）=3ax²+x-2
∵x=-1是f（x）的极值点
∴f'（-1）=3a-1-2=0，解得a=1
∴f（x）=x³+

1

2

x²-2x
（2）∵x=-1是函数g（x）的图象与函数f（x）的图象的公共点
∴f（-1）=g（-1）即d=

1?b

2

f（x）=x³+

1

2

x²-2x=

1

2

bx²-x+

1?b

2

  化简得（x²-1）（x-

1

2

+

b

2

）=0
∵函数g（x）的图象与函数f（x）的图象恒有含x=-1的三个不同交点
∴

1?b

2

≠±1
即b∈（-∞，-1）∪（-1，3）∪（3，+∞）