Question

将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记

将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°，3]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=______；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为______度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．

Answer 1

（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′，
∴S_△AB′C′：S_△ABC=（

A′B′

AB

）²=（

3

）²=3，∠B=∠B′，
∵∠ANB=∠B′NM，
∴∠BMB′=∠BAB′=60°；
故答案为：3：1，60；

（2）∵四边形 ABB′C′是矩形，
∴∠BAC′=90°．
∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90-30=60．
在 Rt△ABB′中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，
∴∠AB′B=30°，
∴n=

AB′

AB

=2；

（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形，
∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC=36°，
∴θ=∠CAC′=∠AC′B′=72．
∴∠BB′A=∠BAC=36°，而∠B=∠B，
∴△ABC∽△B′BA，
∴AB：BB′=CB：AB，
∴AB²=CB?BB′=CB（BC+CB′），
而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，
∴AB²=1（1+AB），
∴AB=

1± 5

2

，
∵AB＞0，
∴n=

B′C′

BC

=

1+ 5

2

．