Question

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上。 （1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明。

Answer 1

解：（1）∵点A（3，4）在直线y=x+m上， ∴4=3+m， ∴m=1， 设所求二次函数的关系式为y=a（x-1） 2 ， ∵点A（3，4）在二次函数y=a（x-1） 2 的图象上， ∴4=a（3-1） 2 ， ∴a=1， ∴所求二次函数的关系式为y=（x-1） 2 =x 2 -2x+1； （2）设P、E两点的纵坐标分别为y P 和y E ， ∴PE=h=y P -y E =（x+1）-（x 2 -2x+1）=-x 2 +3x， 即h=-x 2 +3x（0＜x＜3）； （3）存在； 要使四边形DCEP是平行四边形，必须有PE=DC， ∵点D在直线y=x+1上， ∴点D的坐标为（1，2）， ∴-x 2 +3x=2，即x 2 -3x+2=0，解得x 1 =2，x 2 =1（不合题意，舍去）， ∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形。