Question

已知函数f（x）= a x +x+（a-1）lnx+15a，其中a＜0，且a≠1（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（

已知函数f（x）= a x +x+（a-1）lnx+15a，其中a＜0，且a≠1（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数g（x）= (-2 x 3 +3a x 2 +6ax-4 a 2 -6a) e x (x≤1) e?f(x) (x＞1) （e是自然对数的底数），是否存在a，使g（x）在[a，-a]上是减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=- a x 2 +1+ a-1 x = (x+a)(x-1) x 2 ， ①若-1＜a＜0，则当0＜x＜-a时，f′（x）＞0；当-a＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．故f（x）分别在（0，-a），（1，+∞）上单调递增，在（-a，1）上单调递减． ②若a＜-1，仿①可得f（x）分别在（0，1），（-a，+∞）上单调递增，在（1，-a）上单调递减； （2）存在a，使g（x）在[a，-a]上为减函数．事实上，设h（x）=（-2x 3 +3ax 2 +6ax-4a 2 -6a）e x （x∈R），则h′（x）=[-2x 3 +3（a-2）x 2 +12ax-4a 2 ]e x 再设m（x）=-2x 3 +3（a-2）x 2 +12ax-4a 2 （x∈R）， 则g（x）在[a，-a]上单调递减时，h（x）必在[a，0]上单调递减所以h′（a）≤0，由于e x ＞0， 因此g（x）在[a，-a]上为减函数，当且仅当f（x）在[1，-a]上为减函数，h（x）在[a，1]上为减函数，且h（1）≥e?f（1）．由（1）知，当a≤-2①时，f（x）在[1，-a]上为减函数．又h（1）≥e?f（1）?4a 2 +13a+3≤0?-3≤a≤- 1 4 ② 不难知道，?x∈[a，1]，h′（x）≤0??x∈[a，1]，m（x）≤0，因m′（x）=-6x 2 +6（a-2）x+12a=-6（x+2）（x-a），令m′（x）=0，则x=a，或x=-2．而a≤-2，于是 （p）当a＜-2时，若a＜x＜-2，则m′（x）＞0；若-2＜x＜1，则m′（x）＜0．因而m（x）在（a，-2）上单调递增，在 （-2，1）上单调递减． （q）当a=-2时，m′（x）≤0，m（x）在（-2，1）上单调递减． 综合（p）（q）知，当a≤-2时，m（x）在[a，1]上的最大值为m（-2）=-4a 2 -12a-8．所以?x∈[a，1]，m（x）≤0 ?m（-2）≤0?-4a 2 -12a-8≤0?a≤-2③， 又对x∈[a，1]，m（x）=0只有当a=-2时在x=-2取得，亦即h′（x）=0只有当a=-2时在x=-2取得．因此，当a≤-2时，h（x）在[a，1]上为减函数． 从而有①，②，③知，-3≤a≤-2 综上所述，存在a，使g（x）在[a，-a]上为减函数，且a的取值范围为[-3，-2]．