Question

如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线．（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数；（2

如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线．（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数；（2）若∠B=α，∠C=β，用含α，β的式子表示∠DAE．

Answer 1

（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC=90°， ∵∠C=50°， ∴∠DAC=40°， ∵∠B=30°，∠C=50°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠EAC= 1 2 ∠BAC=50°， ∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=50°-40°=10°； （2）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC=90°， ∵∠C=β， ∴∠DAC=90°-β， ∵∠B=α，∠C=β， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠EAC= 1 2 ∠BAC= 1 2 （180°-α-β）=90°- 1 2 α- 1 2 β， ∴当α＜β时，∠DAE=∠EAC-∠DAC=（90°- 1 2 α- 1 2 β）-（90°-β）= 1 2 β- 1 2 α， 当α＞β时，∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-β-（90°- 1 2 α- 1 2 β）= 1 2 α- 1 2 β．