已知f（x）=alnx+x2（1）讨论f（x）的单调性，（2）当a＞0时，若对于任意x1，x2∈（0，+∞），都有|f（x1
已知f（x）=alnx+x2（1）讨论f（x）的单调性，（2）当a＞0时，若对于任意x1，x2∈（0，+∞），都有|f（x1）-f（x2）|≥3|x1-x2|，求a的取值...
已知f（x）=alnx+x2（1）讨论f（x）的单调性，（2）当a＞0时，若对于任意x1，x2∈（0，+∞），都有|f（x1）-f（x2）|≥3|x1-x2|，求a的取值范围．
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（1）f′(x)＝
+2x＝
，
当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，令f′（x）＞0得：x＞
，f′（x）＜0得：0＜x＜
，
此时f（x）的递增区间为（
，+∞)），f（x）的递减区间为(0，
)；
（2）由（1）知a＞0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，
不妨设x1＜x2，则|f（x1）-f（x2）|≥3|x1-x2|可化为f（x2）-f（x1）≥3x2-3x1，即f（x2）-3x2≥f（x1）-3x1，
令g（x）=f（x）-3x，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g′（x）=f′（x）-3=
?3＝
≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≥-2x2+3x=-2(x?
)2+
，
∴a≥
．
| a |
| x |
| a+2x2 |
| x |
当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，令f′（x）＞0得：x＞
?
|
?
|
此时f（x）的递增区间为（
?
|
?
|
（2）由（1）知a＞0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，
不妨设x1＜x2，则|f（x1）-f（x2）|≥3|x1-x2|可化为f（x2）-f（x1）≥3x2-3x1，即f（x2）-3x2≥f（x1）-3x1，
令g（x）=f（x）-3x，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g′（x）=f′（x）-3=
| a+2x2 |
| x |
| a+2x2?3x |
| x |
∴a≥-2x2+3x=-2(x?
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 8 |
∴a≥
| 9 |
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